Question

 （注意：在试题卷上作答无效）

给出定义在(0，＋∞)上的三个函数：，，，已知在x＝1处取极值.

（1）确定函数的单调性；

（2）求证：当时，恒有成立；

（3）把函数的图象向上平移6个单位得到函数的图象，试确定函数的零点个数，并说明理由.

Answer

 （1）由题设，，则.      由已知，，

即.  于是，则.由，                                      

所以h(x)在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数. …………4分

（2）当时，，即.                          

欲证，只需证，即证.       

设，则.

当时，，所以在区间(1，e2)上为增函数.                

从而当时，，即，故. ……8分

（3）由题设，.令，则

，即.                    

设，，则

，由，得x＞4.

所以在(4，＋∞)上是增函数，在(0，4)上是减函数.                       

又在(0，)上是增函数，在(，＋∞)上是减函数.

因为当x→0时，，.

又，，，

，则函数与的大致图象如图：                         

由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，故函数y＝g(x)－h1(x)有2个零点. ……12分