Question

 如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, ∠BCF＝, 且

AC = CB = 4, 将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－, BP⊥平面, 点P

为垂足.

(Ⅰ) 求△ACP的面积;

(Ⅱ) 求异面直线AB与EF所成角的正切值.

Answer

 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分15分。

方法一:

(Ⅰ)  解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足, 连结BM, 则∠BMP为二面角－EF－的平面角. 以点P为坐标原点, 以直线PM为x轴, 射线PB为z轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.

      在Rt△BMC中,

由∠BCM＝, CB = 4, 得       

         CM =, BM =2.

在Rt△BMP中,

由∠BMP＝, BM =2, 得

         MP = 1, BP =.

故P(0,0,0), B(0, 0,), C(－1,－, 0), M(－1,0,0).

由∠ACM＝, 得

A(1,－4, 0).

所以= (1,,0), = (2,－,0),

则    －10,

cos∠ACP = －,

sin∠ACP = .

因此S△ACP＝.                          …………………(7分)

(Ⅱ)  解:＝(1,－4,－), ＝(0,－2,0),

               24,

               cos<>=,

所以AB与EF所成角的正切值为.         …………………(15分)

方法二:

(Ⅰ)  解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足,

连结BM, 则∠BMP为二面角－EF－的平面角.

在Rt△BMC中,

由∠BCM＝, CB = 4, 得

        CM =, BM=2.

在Rt△BMP中,

由∠BMP＝, BM=2, 得

MP=1.

       在Rt△CMP中,

由CM =, MP=1, 得

CP=,  cos∠PCM＝,  sin∠PCM =.

故 sin∠ACP = sin(－∠PCM)＝.

所以S△ACP＝.                          …………………(7分)

(Ⅱ) 解: 如图, 过点A作AQ∥EF, 交MP于点Q ,

则∠BAQ是AB与EF所成的角, 且AQ⊥平面BMQ .

在△BMQ中,

由∠BMQ＝, BM＝MQ＝2, 得

              BQ = 2.

在Rt△BAQ中,

        由AQ＝AC＋CM ＝4, BQ = 2, 得

              tan∠BAQ =.

因此AB与EF所成角的正切值为.         …………………(15分)