Question

   已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).

(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P的直

线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且PQ与C

在点P处的切线垂直? 若存在, 求出点P的坐标;

若不存在, 请说明理由.

Answer

 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析

几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x2 = ay,

则,

即a = 4.

故所求抛物线C的方程为x2 = 4y .            …………………(5分)

(Ⅱ) 解: 设P(x1, y1), Q(x2, y2),

则抛物线C在点P处的切线方程是

,

直线PQ的方程是

.

将上式代入抛物线C的方程, 得

,

故 x1+x2 =, x1x2 =－y1 ,

所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .

而＝(x1, y), ＝(x2 , y) ,

×＝x1 x2＋(y) (y)

＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1

＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1

＝－2y1 －－7

＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)

＝(y1＋1)2－

＝

＝0,

故 y1＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .

经检验, 符合题意.

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). …………………(15分)