Question

 已知函数().

(Ⅰ) 当a = 0时, 求函数的单调递增区间;

(Ⅱ) 若函数在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围. 

Answer

 本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分14分。

(Ⅰ) 解: 当a = 0时,  f (x)＝xx2＋5x ,

>0,

所以 f (x)的单调递增区间为, .  …………………(6分)

(Ⅱ)  解: 一方面由题意, 得

即 ;

另一方面当时,

f (x) = (－2x3＋9xx＋4)a＋xx2＋5x ,

令g(a) = (－2x3＋9xx＋4)a＋xx2＋5x, 则

g(a) ≤ max{ g10.,  g() }

= max{xx2＋5x , (－2x3＋9xx＋4)＋xx2＋5x }

= max{xx2＋5x , x2－x＋2 },

f (x) = g(a)

≤ max{xx2＋5x , x2－x＋2 },

又{xx2＋5x}=2, {x2－x＋2}=2, 且f 10.＝2,

所以当时,  f (x)在区间[0,2]上的最大值是2.

综上, 所求 a的取值范围是.         …………………(14分)