Question

如图所示，在菱形ABCD中，∠DAB = 60°，PA⊥底面ABCD，PA = AB = 2，E、F分别是AB与PD的中点.

(1) 求证：PC⊥BD；

(2) 求证：AF∥平面PEC；

(3) 求二面角P - EC - D的大小.

Answer

【解析】
(1) 证明：（1）连接AC，则AC⊥BD。

   ∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD

上的射影，∴由三垂线定律得PC⊥BD

    (2)  取PC中点K，连接FK 、EK，

则四边形AEKF是平行四边形，

          ∴ AF∥EK，又EK  平面PEC，AF 平面PEC，

          ∴ AF∥平面PEC

          (3)  延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM与H，

          连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

         ∴  ∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角。

∵  E为AB的中点，AE∥CD，∴AM=AD=2 ,

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得EM2=AM2+AEAM·AEcos120°=7,

EM=, 又S△AME=AH·EM=AM·AE·sim120°,

∴AH = ，∴ tan∠PHA= = .

∴ 二面角P-EC-D的大小为arctan.