Question

如图所示，中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P (6 , 6)，

动直线l经过点(0 , 1)与双曲线C交于M、N两点，Q为线段MN的中点.

(1) 求双曲线C的标准方程；

(2) 若E点为(1 , 0)，是否存在实数λ使 =λ，若存在，

求λ值；若不存在，说明理由.

Answer

【解析】
(1) 设双曲线为：(a >0，b >0)，

由 = 得：b2 = a2，∵.∴a2 = 9，b2 = 12.

∴所求方程为.                             (4分)

 (2) 设M(x1 , y1 )，N(x2 , y2 )，Q(x0 , y0 )，l：y = kx + 1.

由得：(k2)xkx - 39 = 0. ∴得：

- < k < ，且k≠.                       (6分)

又x1 + x2 =，x0 = =，y0= kx0+1=

∴Q(,).∴ = (-1,)， = (3 , 6).      (8分)

而 =λ，∴6(-1)- 3×=0. ∴k2+k - 2 = 0，

∴k = 1或-2.                                        (10分)

而-2(- , )，∴k =1， =(2 , 4)，∴3λ= 2，λ= ，

∴λ存在，值为，使 =λ.                     (12分)