Question

如图，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形，PA=AB=1,PD与平面

ABCD所成的角是30⁰，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。

（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE；

（3）求当BE的长为多少时，二面角P-DE-A的大小为45⁰。

Answer

 【解析】
（1）平行

        因为EF//PC,EF平面PAC,PC平面PAC,所以EF//平面PAC    ————4

       （2）PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD

            PA⊥BE,又BE⊥AB,ABAP=A,所以BE⊥平面PAB.

            又AF平面PAB ,所以AF⊥BE.

           又PA=AB=1,点F是PB的中点，所以AF⊥PB     ————6

           又因为PBBE=B,所以AF⊥平面PBE

           因为PE平面PBE,所以AF⊥PE       ————8

      （3）过A作AG⊥DE于G,连结PG,又DE⊥PA,则DE⊥平面PAG.

           则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角

          所以∠PGA=      ————10

          解得BE=      ————12