Question

 （本题满分12）

已知x=1是函数f(x)=m -3(m+1)+nx+1的一个极值点，其中m，nR，m＜0.

（Ⅰ）求m与n的关系表达式；         （Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）当x时，函数y=f（x）的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。

Answer

 【解析】

（I）f′(x)= 3m-6(m+1)x+n      因为x=1是f(x)的一个极值点，所以f′(1)=0,即  3m-6(m+1)+n=0    所以  n=3m+6.                   ………………………………3分

(Ⅱ) 由（I）知， f′(x)= 3m-6(m+1)x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+）].

当m<0时,有1>1+.

当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下表：

x

（-∞，1+）

1+

（1+，1）

1

（1，∞）

f′(x)

-

0

+

0

-

f(x)

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

由表知，当m<0时，f（x）在（-∞，1+）内单调递减，在（1+，1）内单调递增，在（1，∞）内单调递减。                  ………………………………7分

（Ⅲ）解法一 由已知条件，得f′（x）﹥3m，即  m-2(m+1)x+2 > 0.

 因为 m < 0,所以 -（m+1）+ < 0,

 即 -2（1+）x+ < 0 , x[-1,1]   ①

设g（x）= -2（1+）x+ ，其函数图像的开口向上。由题意①式恒成立，

所以{ { { -

又m < 0,所以 -< 0,

故m的取值范围是 -< 0.               ………………………………12分

解法二  由已知条件，得f′（x）﹥3m，即 3m（x－1）[x-(1+)] > 3m.

 因为m< 0,所以（x－1）[x-(1+)]< 1   ②

(ⅰ)x=1时，②式化为0 < 1,恒成立，所以m< 0.

（ⅱ）x≠1时，因为 x[-1,1]，所以 -2≤x-1＜0.

②式化为   <(x-1)-，    令t=x-1,则t[-2，0〕.

记  g（t）=t-，   则 g（t）在区间[-2，0〕上是单调增函数，

所以  =g（-2）=-2-=-.

由②式恒成立，必有   < -  -< m.

又m < 0,综合（ⅰ），（ⅱ）知 -< 0.     ………………………………12分