Question

如图，为圆的直径，点在圆上，

已知∥,,

,。

直角梯形所在平面与圆所在平面互相垂直。（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；

（Ⅲ）在上是否存在一点,使∥平面?

若不存在，请说明理由;若存在，请找出这一点，并证明之

Answer

解析:(1)连接,因为四边形是直角梯形,所以,又平面平面所以平面,所以,因为为圆的直径,所以,

又,所以平面,

又平面,所以平面平面．

(2)如图,因为,连接,

则是边长为的等边三角形,以为原点,

所在的直线为轴,垂直于的直线分别为轴、

轴建立如图所示的坐标系,则有

，（6分)

易得平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，因为，

，则由 可得  ，令，得, 所以．     （8分)

结合图形,易知平面与平面所成角的余弦值为．  (9分)

(3)存在点是的中点．

证明:连接,则∥,

又因为平面,所以∥平面,

因为∥,,,

所以四边形是平行四边形,所以∥,

又平面,所以∥平面,

又,所以平面∥平面,所以∥平面．     (13分)