Question

 （本小题满分１４分）

定义，，

（Ⅰ）令函数的图象为曲线，曲线与轴交于点，过坐标原点向曲线作切线，切点为，设曲线在点之间的曲线段与线段所围成图形的面积为，求的值；

（Ⅱ）令函数的图象为曲线，若存在实数使得曲线在处有斜率为-8的切线，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当 且时，证明。

Answer

 【解析】
（Ⅰ）∵

∴，

故A(0，9)，                                              （1分)

又过坐标原点O向曲线作切线，切点为B(n，t) (n>0) ，=2x-4． 

∴，

解得B( 3，6 ) ，                                          （2分)

∴．          （4分）

（Ⅱ），

设曲线在处有斜率为-8的切线， 

又由题设log2(x3+ax2+bx+1)>0 , =3x2+2ax+b,

∴存在实数b使得有解，        （6分)

由（1）得，代入（3）得，（7分)

∴由有解，

得2×(-4)2+a×(-4)+8>0或2×(-1)2+a×(-1)+8>0,

∴a<10或， ∴．                               （9分）

（Ⅲ）令，由，          （10分）

又令， ∴，

∵在连续   ∴在单调递减，            （12分）

∴当时有，，∴当时有，，

∴在单调递减，                                    （13分）

∴时，有，∴yln(1+x)>xln(1+y),

∴，

∴当 且时， ．                 （14分）