Question

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点。

（1）求证：直线MF∥平面ABCD；

（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

（3）求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小。

Answer

 （1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN。

因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点

又因为M是线段AC1的中点，故MF∥AN

又∵MF平面ABCD，AN平面ABCD

∴MF∥平面ABCD

（2）连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知：

A1A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD

又∵AC∩A1A=A，AC，A1A平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1

在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，所以四边形DANB为平行四边形

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1

又∵NA平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1

（3）由（2）知BD⊥ACC1A1，又AC1ACC1A1，∴BD⊥AC1

∵BD∥NA，∴AC1⊥NA

又由BD⊥AC可知NA⊥AC

∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角

在Rt△C1AC中，，故∠C1AC＝30°

平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。

（说明：求对一个角即给满分）