Question

已知，函数在[1，＋∞）上是一个单调函数。

（1）试问函数在的条件下，在[1，＋∞）上能否是单调递减函数？请说明理由；

（2）若在区间[1，＋∞）上是单调递增函数，试求出实数的取值范围；

（3）设，1且，求证：。

Answer

 （1）

若在[1，＋∞）上是单调递减函数，则须，即

这样的实数不存在，故在[1，＋∞）上不可能是单调递减函数。

（2）若在[1，＋∞）上是单调递增函数，则

由于，故，从而

（3）证法一：由（1）、（2）可知在[1，＋∞）上只能是单调增函数。

若，则矛盾；

若，则，即矛盾；

故只有成立。

证法二：设，则，∴，

两式相减得

∴

∵，，∴

又，∴

∴，即，亦即，证毕。