如图，已知点，且的内切圆方程为. （1）求经过三点的椭圆标准方程；（2） ...

如图，已知点，且的内切圆方程为.

（1） 6ec8aac122bd4f6e 求经过三点的椭圆标准方程；

（2）过椭圆上的点作圆的切线，求切线长最短时的点的坐标和切线长。

【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，------------------1分依题意知直线AB的斜率存在，故设直线AB：y=k（x+4） ------------------2分因圆的圆心为（2，0），半径，又因为直线AB与圆相切所以，圆心为（2，0）到直线AB的距离为------------------3分解得（为直线AC的斜率）所以直线AB的方程为，------------------4分又因为AB=AC，点A(-4,0)在x轴上，所以B点横坐标为，把代入直线AB的方程解得，------------------5分把A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得m=16，n=分所以椭圆的标准方程为.------------------7分 (Ⅱ)设点M，则圆心（2，0）与点M的距离为 -8分切线长，，--10分当时，， ------------------12分此时，从而点的坐标为 ------------------14分解法二：(Ⅰ)因为AB=AC，点A(-4,0)在x轴上，且的内切圆方程为，所以B点横坐标为， -----------------1分如图，由三角形内切圆的性质知∽ ∴即，从而------------------3分当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则将A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得=16，=1 ， ∴椭圆的标准方程为--5分当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则将A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得=16，=与矛盾----------6分综上所述，所求椭圆的标准方程为.------------------7分 (Ⅱ) 依题意设点M，则圆心（2，0）与点M的距离为 ------8分则切线长，而，---------10分当时，，-----12分此时，从而点的坐标为 -----14分

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