Question

已知函数，

（1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；

（2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关.试求的取值范围．

Answer

 【解析】
(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，……………………………………………………2分

所以，…………………………………………………………………4分

解得，故实数的取值范围为区间.……………………………6分

(2)

①当时，

a)时，，，所以 ，

b)时，，所以 ……8分

 ⅰ当即时，对，，所以 在上递增，

所以 ，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合……10分

 ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求．………12分

②当时，

a) 时，，，所以

b) 时，，，

所以  ，在上递减，

所以 ，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合………14分

综上所述，实数a的取值范围是．………………………………………………16分