Question

如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA^底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM^平面PBD.

⑴求PA的长；

⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值.

Answer

 解 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a).

因为M是PC中点,所以M点的坐标为(,,)，所以 = (,,)， = (–1,1,0)， = ( – 1,0,a).

⑴因为^平面PBD,所以· = · = 0.即

 –  +  = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分

⑵由 = (0,1,0), = (,,),可求得平面AMD的一个法向量n = ( – 1,0,1).又 = ( – 1,–1,1).所以cos =  =  = .

所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为.……………………………10分