Question

用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为.

（1）试用数学归纳法证明：；

（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.

Answer

 解（1）：证明：

（ⅰ）当时，因为，，所以等式正确.

（ⅱ）假设时，等式正确，即，

那么，时，因为，

这说明时等式仍正确.

据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确. ……………………………5分

（2）易知，

①当为奇数（）时，，因为，所以，又，所以；

②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以.综上所述，.……………………………10分