Question

已知椭圆的两个焦点分别为和,过点的直线与椭圆相交于两点,且,．

   （I）求椭圆的离心率；

   （II）求直线的斜率；

   （III）设点与点关于坐标原点对称,直线上有一点在 的外接圆上,求的值.

Answer

 【解析】
（Ⅰ）由且，得，则，

解得．故离心率．…………………………………………3分

   （Ⅱ）解法1.由(Ⅰ)，得，所以，椭圆方程为．

设直线的方程为，即．

设，则它们的坐标满足方程组

消去，并整理得．

依题意， ，解得．

由根与系数的关系得

， ①

， ②

由点是线段的中点，得，

即 ③

由①，③解得

将代入②解得

解法2. 由(Ⅰ)，得，所以，椭圆方程为．

设直线的方程为,又设，则它们的坐标满足方程组

消去，并整理得,

依题意，,解得.

由点是线段的中点，得.                           ①

由根与系数的关系得

,                                             ②

,                                               ③

由①, ②得  ,代入③并整理得

   ,即,于是.

直线的斜率为．…………………………………………7分

(Ⅲ) 解法1. 由(Ⅱ)解法1可得(或由解法2得)

当时,,则,(如图)

,的中点为.

于是线段的垂直平分线方程为

   ,

直线与轴的交点是的外接圆的圆心.

因此, 的外接圆的方程为  .

直线的斜率为,直线的方程为 .

于是,点的坐标满足方程组

由,解得所以,．

当时,同理可得．所以，．

解法2. 由(Ⅱ)得,

当时,,则,

由椭圆的对称性可知,于是三点共线．

因为点在的外接圆上，且，

所以，四边形为等腰梯形．

由直线的方程为 ，则点的坐标满足．

因为，则，

解得 （舍），或，则，所以．

当时,同理可得．所以，．

解法3. 若点在的外接圆上,则.

由(Ⅱ)得,

当时,,则,

由直线的方程为 ，则点的坐标满足．

于是,

,

由向量的夹角公式得：,

则.

.

          ,

           ,

即,由得,则，所以．

当时,同理可得．所以，．………………13分

说明：本小题主要考查椭圆的标准方程和集合性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力．

由(Ⅱ)得，满足条件的直线过椭圆的短轴的顶点，这个结论是下面的一般结论的一个特例．

命题：已知椭圆的两个焦点分别为和,过点的直线与椭圆相交于两点,若，则该直线一定过或点．

证明．由知，，则，即

，所以，，．

设直线的方程为，，则它们的坐标满足方程组

消去得．

由得，

于是， ①

， ②

解①得，代入②，

，

解出得，由及②得

③

把代入③式并整理得 ，．命题得证．