Question

    （理）如图，平面ADEF⊥平面ABCD，ABCD与ADEF均为矩形，且AB：AD：AF=

2：2：；P为线段EF上一点，M为AB的中点，若PC与BD所成的角为

60°.

   （1）试确定P点位置；

   （2）求二面角P—MC—D的大小的余弦值；

   （3）当AB长为多少时，点D到平面PMC的距离等于？

（文）设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

Answer

 （理）∵AB：AD：AF=2：2：

可设AB=2，AD=2a，AF=a，并设FP=x建立如图直角坐标系，则

A（0，0，0），B（0， 2a，0），C（2a， 2a，0），D（2a，0，0），

F（0，0，a），E（2a，0，a），M（0，2a，0），P（x，0，a）…1分

   （1）

………………2分

∵BD、CP所成角为60°

∴x=a，即P点为EF的中点.……………………………………4分

   （2）

    设n=（x，y，z）为平面PMC的一个法向量.

    ∴二面角P—MC—D的大小的余弦值为…………………………8分

   （3）设D点到平面PCM的距离为d

     故得当AB=3时，点D到平面PMC的距离等于.………………12分

（文）（Ⅰ）【解析】
当时，，得，且

，．

所以，曲线在点处的切线方程是，整理

得．

（Ⅱ）【解析】

．

令，解得或．

由于，以下分两种情况讨论．

   （1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

；

函数在处取得极大值，且．

   （2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

；

函数在处取得极大值，且

．

   （Ⅲ）证明：由，得，当时，

，．

由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，

只要

即  ①

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．

所以，在区间上存在，使得对任意的 恒成立．