Question

（理）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

   （Ⅰ）求证：平面；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）求点到平面的距离． 

（文）设函数

证明：当没有极值点；当有且只有一个极值点，并求出极值

Answer

 （理）【解析】
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为

的中点，

，

．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．

，

为二面角的平面角．

在中，由等面积法可求得，

又，

．

所以二面角的大小为．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由得，

．

点到平面的距离为．

解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

,=－1+=0,

，．

平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．

，．

，，

令得为平面的一个法向量．

由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

    ．

      点到平面的距离．

（文）证明：因为

当上单调递增；

如果上单调递增.

所以当没有极值点.

当，

当、随x的变化情况如下表：

x

－

0

+

极小值

从上表可看出，

函数有且只有一个极小值点，

极小值为，

当、随x的变化情况如下表：

x

－

0

+

极小值

从上表可以看出，

函数有且只一个极大值点，极大值为，

综上所述，当没有极值点；当时，

有且只有一个极小值点，极大值为

有且只有一个极大值点，极大值为