Question

 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考查其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用x_n表示某鱼种在第n年年初的总量，n∈N+，且x₁>0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。

   （1）求x _n+1与x _n的关系式；

   （2）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

   （3）设a=2，c=1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n>0，n∈N+，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。

Answer

 （1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为，因此xn+1－xn=axn－bxn－，n∈N+.（*）即x n+1=xn（a－b+1－cxn），n∈N+.（**）；

（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N+，从而由（*）式得

xn（a－b－cxn）恒等于0，n∈N+，所以a－b－cx1=0.即x1=.因为x1>0，所以a>b，

猜测： 当且仅当a>b，且x1=时，每年年初鱼群的总量保持不变。

   （3）若b的值使得xn>0，n∈N+由x n+1=xn（3－b－xn），n∈N+，知00。

又因为x k+1=x k（2－xk）=－（x k－1）2+1≤1<2，所以 x k+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立

    由①、②可知，对于任意的n∈N+，都有xn∈（0，2）

综上所述，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn>0，n∈N+，则捕捞强度b的最大允许值是1。