Question

 已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax²＋bx＋c，g（x）=ax+b，当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1．

   （Ⅰ）证明：|c|≤1；

   （Ⅱ）证明：当－1≤x≤1时，|g（x）|≤2；

   （Ⅲ）设a＞0，当－1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.

Answer

 （Ⅰ）证：由条件当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1，取x=0，得|c|＝|f（0）|≤1，即|c|≤1．

   （Ⅱ）证：当a＞0时，g（x）=ax+b在［－1，1］上是增函数，

所以g（－1）≤g（x）≤g（1），

因为|f（x）|≤1  （－1≤x≤1），|c|≤1，

所以g（1）=a+b=f（1）－c  3 ≤|f（1）|＋|c|≤2，

g（－1）＝－a+b=－f（－1）+c≥－（|f（－1）|＋|c|）≥－2，

由此得|g（x）|≤2；

当a＜0时，g（x）=ax+b在［－1，1］上是减函数，所以g（－1）≥g（x）≥g（1），

因为|f（x）|≤1  （－1≤x≤1），|c|≤1，

所以g（－1）=－a+b=－f（－1）+c≤|f（－1）|＋|c|≤2，

g（1）=a+b=f（1）－c≥－（|f（1）|＋|c|）≥－2，

由此得|g（x）|≤2；

当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c，因为－1≤x≤1，

所以|g（x）|=|f（1）－c|≤|f（1）|+|c|≤2；

综上，得|g（x）|≤2；

   （Ⅲ）【解析】
因为a＞0，g（x）在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即

g（1）=a+b=f（1）－f（0）=2，因为－1≤f（0）＝f（1）－2≤≤－1，

所以c=f（0）=－1.

因为当－1≤x≤1时，f（x）≥－1，即f（x）≥f（0），据二次函数性质，直线x=0为二次函数f（x）的图象的对称轴，故有＝0，即b=0，a=2，所以f（x）=2x.