Question

 (12分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．

   （1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD;

   （2）证明BD∥面PEC;

   （3）求面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值．

Answer

 解: (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥面ABCD,

PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD,F为PD的中点，

∴PD⊥AF，

又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A，

∴CD⊥面ADP,

∴CD⊥AF．又CD∩DP=D, ∴AF⊥面PCD．      4分

   （2）取PC的中点M,AC与BD的交点为N，连结MN，

∴MN=PA，MN∥PA，

∴MN=EB,MN∥EB，故四边形BEMN为平行四边形，

∴EM∥BN，又EM面PEC,∴BD∥面PEC．        7分

   （3）分别以BC,BA,BE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则C( 4,0,0)，D(4 ,4 ,0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)，

∵F为PD的中点，∴F(2,4,2)．

∵AF⊥面PCD，∴为面PCD的一个法向量，

=(－2,0,－2)，设平面PEC的法向量为=(x,y ,z)，

则,

  ∴,令x=1,∴,      10分

∴

∴与的夹角为．

面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值为．       12分