Question

 数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然后他将其中的两根换成长度分别为在和的塑料棒、又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为的塑料棒．

   （1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；

   （2）试证：平面ABD⊥平面CBD；

   （3）求新三棱锥的外接球的表面积．

Answer

 （1）张老师换掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陈成同学换掉的另一根塑料棒是AC．……………………………3分

根据题意作出如图所示的图形，其中图(1)表示陈 

成同学想搭成的三棱锥,取AC中点E，连结BE、

DE，因AB2+CB2=AC2=2a2，所以BE是直角

△  ABC斜边上的中线，得BE=，同理，

△  DE=，从而由BE+DE==BD,不能构成三角形，

△  所以图(1)错误． …………5分 

   （2）如图(2)，不妨设张老师换掉的另一根塑料捧是CD，

取BD中点F，连结AF、CF，因△ABD是等腰三角形，

所以AF⊥BD，又△BCD是直角三角形．

所以CF＝BF＝DF．又AB=AC＝AD，

所以△ABF≌△ACF，从而AF⊥CF，又CF与BD确定平面BCD，

所以AF ⊥平面BCD．又AF平面ABD，

所以平面ABD⊥平面CBD． ……………………………9分

   （3）由（2）可知：三俊锥的外接球的球心必在直线AF 

上，设球半径为R，因BF=，

AB=a，∴AF=，由,

所以新三棱锥的外接球的表面积S=．…………………………12分