Question

 (12分)如图甲,正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B（如图乙），在乙图中

   （Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；

   （Ⅱ）在线段BC上找一点P，使AP⊥DE，并求BP．

   （Ⅲ）求三棱锥D-ABC外接球的表面积．(只需用数字回答,可不写过程)

 

Answer

 【解析】
(1)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A-CD-B的平角

   ∴ AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD,取CD的中点M,这时EM∥AD,∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E-DF-N的平面角…………………………2分

在 Rt△EMN中,EM=AD=AB=1,

MN=∴EN=,cos∠MNE=………4分

   （2）在线段BC上取点P,使BP=BC=,

过P作PQ⊥CD于点Q,     ∴ PQ⊥平面ACD

∵DQ=DC=,在等边△ADE中,∠DAQ=30

∴AQ⊥DE,∴AP⊥DE……………………8分

   （3）2R=   ………………12分