Question

 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点．

   （Ⅰ）求椭圆E的方程；

   （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,

         且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理

         由。

Answer

 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为        4分

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,

则△=,即

要使,需使,即,所以

,

    所以又,

    所以,所以,即或,

    因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

    所以圆的半径为,,,

所求的圆为,此时圆的切线都满足或,

而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．

因为,

所以,

,               8分

①当时

因为所以,

所以,

所以当且仅当时取“=”．

    ②时,．

    ③当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,

所以此时,             12分

综上, |AB |的取值范围为即:           14分