Question

 如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起，使得平面平面得到四棱锥．

   （1）求证：平面平面；

   （2）过的中点的平面与平面平行，试求平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形的面积与三角形的面积之比。

   （3）求二面角的余弦值。

Answer

 【解析】（1），平面平面，

根据两个平面垂直的性质定理得平面，

所以，又，根据线面垂直的判定定理平面，

平面，所以平面平面。

   （2）由于平面平面，故平面与平面的交线，

是的中点，故是的中点；同理平面与平面的交线，

为的中点；平面的交线，为的中点，

连接即为平面与平面的交线，

故平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形是图中的四边形，

由于，故，根据（1），

由，故，即四边形`是直角梯形。

设，则，

故四边形的面积是，

三角形的面积是，

故平面与四棱锥各个面

的交线所围成多边形的面积与

三角形的面积之比为。

   （3）方法1．平面,，

过点做的垂线交的延长线于点，

连接，则平面，

从而，

所以即为二面角的平面角。

设，则，则，

故二面角的余弦值等于。

方法2．建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求解。

设，则，，，，

设为平面的法向量，

则且，

即且，

取，则，

即平面的一个法向量为，（10分）

又为平面的一个法向量，

二面角是锐二面角，故其余弦值为。