Question

 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面   ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

   （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

   （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．

Answer

 解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A，B，C，D，P，E的坐标为A（0，0，0），

B （，0，0），C （，1，0） ，

D （0，1，0） ，P （0，0，2） ，E （0，，1）

从而

（4分）

设的夹角为θ，

则∴AC与PB所成角的余弦值为．

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为，

则，由NE⊥面PAC可得，

  ∴

即N点的坐标为（，0，1），

从而N点到AB和AP的距离分别为1，。    （12分）

评析：立体几何中的位置关系的判定以及求值问题，空间向量是一个重要的工具，为此我们平时注意积累正棱锥、直棱锥、正棱柱以及直棱柱等模型，以备考试之用，特别是法向量的运用。