Question

 已知是以点为圆心的圆上的动点，定点．点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线。

   （Ⅰ）求曲线的方程；

   （Ⅱ）线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围。

Answer

 【解析】
（Ⅰ）

∴为的垂直平分线，∴,

又                     （2分）

∴动点的轨迹是以点为焦点的长轴为的椭圆．

∴轨迹E的方程为                                      （4分）

（Ⅱ） 解法一∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，

则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，

由，消去，并整理，得

设，，则

，。                              （6分）

，

，，．                  （8分）

又点到直线的距离，

，          （10分）

，．                                         （12分）

解法二：∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，

由，消去，并整理，得

设，，则，        （8分）

，

                 （10分）

又点到直线的距离，。

设，则，，．  （12分）

（注：上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分）

评析：解析几何中的轨迹问题一直是出题的重要方向，圆锥曲线不考察第二定义以后，由圆在内构造的轨迹问题成为主要的出题方向（容易构造），需要考生注意平时积累；直线与圆、圆锥曲线间的位置关系的判定、证明、求值能有效考察考生的运算能力；