Question

 已知定圆A：(x＋1)²＋y²＝16圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.

   （I）求曲线C的方程；

   （II）若点P(x₀,y₀)为曲线C上一点，求证：直线l: 3x₀x＋4y₀y－12＝0与曲线C有且只有一个交点。

Answer

 解析：（I）圆A的圆心为A(－1，0)，半径r1＝4，

设动圆M的圆心M(x,y),半径为r2，依题意有r2＝|MB|，

由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，

故|MA|＝r1—r2，即|MA|＋|MB|＝4，

所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．                           （4分）

设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由2a＝4,2c＝2,可得a2＝4,b2＝3，

故曲线C的方程为＋＝1．  （6分）

   （II）当y0＝0时，由＋＝1 可得y0＝±2，

当x0＝2，y0＝0时，直线l的方程为x＝2，此时，

直线l与曲线C有且只有一个交点(2，0) ，

当x0＝－2，y0＝0时，直线l的方程为x＝－2，此时，

直线l与曲线C有且只有一个交点(－2，0) ，    9分

当y0≠0时，联立 ，

消去y，得(3x02＋4y02)xx0x＋y02＝0，        ①         （10分）

注意到, P(x0,y0)为曲线C上一点，即＋＝1，

于是方程①可以化简为xx0x＋x02＝0 ，解得x＝x0，y＝y0 ，

即直线l与曲线C有且只有一个交点P(x0,y0)，

综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x0,y0)．               （12分）

评析：解析几何中的轨迹问题一直是出题的重要方向，圆锥曲线不考察第二定义以后，由圆在内构造的轨迹问题成为主要的出题方向（容易构造），需要考生注意平时积累；直线与圆、圆锥曲线间的位置关系的判定、证明、求值能有效考察考生的运算能力；