Question

 已知数列{a_n}中，a₁＝，点(n，2a_n＋1－a_n)(n∈N^*)在直线y＝x上。

   （I）计算a₂，a₃，a₄的值；

   （II）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求证：数列{b_n}是等比数列；

   （III）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由。

Answer

 解析 : (Ⅰ)由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝，所以2a2－a1＝1，解得a2＝，

同理a3＝，a4＝．                                              (3分)

(Ⅱ)因为2an＋1－an＝n，

所以bn＋1＝an＋2－an＋＝－an＋＝，

b­n＝an＋1－an－1＝an＋1－(2an＋1－n)－1＝n－an＋＝2bn＋1，即＝

又b1＝a2－a＝－，所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列． （8分）

(Ⅲ)由(2)得，bn＝－×()＝－3×()，Tn＝＝3×()－．

又an＋1＝n－1－bn＝n－1＋3×()，所以an＝n－2＋3×()n，

所以Sn＝－2n＋3×＝＋3－．         （11分）

由题意，记cn＝．要使数列{cn}为等差数列，只要cn＋1－cn为常数．

cn＝＝＝＋(3－λ)×，

cn－1＝＋(3－λ)×，

则cn－cn－1＝＋(3－λ)×(－)。

故当λ＝2时，cn－cn－1＝为常数，即数列{}为等差数列．         （14分）