Question

    已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点．

   （1） 求四棱锥的体积；

   （2） 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；

   （3） 若点为的中点，求二面角的大小．

Answer

 【解析】
（1） 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，

侧棱底面，且．                  …………2分

∴，

即四棱锥的体积为．                      …………4分

（2） 不论点在何位置，都有．    …………5分

证明如下：连结，∵是正方形，

∴．          …………6分

∵底面，且平面，

∴．       …………7分

又∵，∴平面．

∵不论点在何位置，都有平面．

∴不论点在何位置，都有．                     …………8分

（3） 解法1：在平面内过点作于，连结．

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

从而△≌△，∴．

∴为二面角的平面角．                 …………10分

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，

∴，

即二面角的大小为．…………12分

解法2：如图，以点为原点，

所在的直线分别为轴建立空间直角

坐标系．则，从而

，，，．………8分

设平面和平面的法向量分别为

，，

由，取．

由，取． …………10分

设二面角的平面角为，则，

∴，即二面角的大小为．       …………12分