Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点

   （1）求直线B₁C与DE所成角的余弦值；

   （2）求证：平面EB₁D⊥平面B₁CD;

   （3）求二面角E-B₁C-D的余弦值．

Answer

 解:（1）连结A1D,则由A1D∥B1C知,B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．连结A1E,由正方体ABCD-A1B1C1D1，可设其棱长为a,则

∴直线B1C与DE所成角的余弦值是．  ………4分

   （2）取B1C的中点F,B1D的中点G,连结BF,EG,GF．

∵CD⊥平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1，∴DC⊥BF． 

又∵BF⊥B1C，CD∩B1C=C，∴BF⊥平面B1CD

又∵GFCD，BECD，∴GFBE,

∴四边形BFGE是平行四边形，∴BF∥GE,∴GE⊥平面B1CD．

∵CE平面EB1D,∴平面EB1D⊥B1CD．           ………8分

（3）连结EF．∵CD⊥B1C，GF∥CD，∴GF⊥B1C． 

又∵GE⊥平面B1CD, ∴EF⊥B1C，

∴∠EFG是二面角E-B1C-D的平面角．

设正方体的棱长为a，则在△EFG中，GF=a,EF=a,

∴

∴二面角E-B1C-D的余弦值为．………12分