Question

    如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点．

   （1）求证：平面；

   （2）求证：平面平面；

   （3）求直线和平面所成角的正弦值．

Answer

 （1） 证法一：取的中点，连．

∵为的中点，∴且．…………1分

∵平面，平面，

∴，∴．

又，∴．                 ………2分

∴四边形为平行四边形，则．

∵平面，平面，

∴平面．                         ………4分

证法二：取的中点，连．

∵为的中点，∴．      …………1分

∵平面，平面，

∴．

又，

∴四边形为平行四边形，则．…2分

∵平面，平面，

∴平面，平面．

又，∴平面平面．

∵平面，

∴平面．                     …………4分

（2） 证：∵为等边三角形，为的中点，

∴．

∵平面，平面，∴．

又，故平面．                  ………6分

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面．                …………8分

（3） 【解析】
在平面内，过作于，连．

∵平面平面， ∴平面．

∴为和平面所成的角．                 …………10分

设，则，

，

R t△中，．

∴直线和平面所成角的正弦值为．…………12分

方法二：设，建立如图所示的坐标系，则

．

∵为的中点，∴．………2分

（1） 证：，

∵，平面，∴平面． …………4分

（2） 证：∵，

∴，∴．     …………6分

∴平面，又平面，

∴平面平面．                   …………8分

（3） 【解析】
设平面的法向量为，由可得：

，取．      …………10分

又，设和平面所成的角为，则

．

∴直线和平面所成角的正弦值为．            …………12分