Question

    已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．

   （1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；

   （2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

 解  （1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1）,

将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,

消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k=0．                  …………2 分

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

①

②

则                       …………4分

由线段AB中点的横坐标是-，

得=-=-,解得k=±，适合①．         ……………6分

所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0．………………7分

（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．

（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知

x1+x2=-,x1x2=． ③

所以=（x1-m）（x2-m）+y1y2

=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）

=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2．               …………9分

将③代入，整理得

=+m2

=+m2

=m2+2m--．      ………………11分

注意到是与k无关的常数，从而有

6m+14=0，m=-，此时=．       ………………12分

（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，

此时点A，B的坐标分别为、，

当m=-时，亦有=．

综上，在x轴上存在定点M，使为常数． …………14分