Question

 如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

   （Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由；

   （Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；

   （Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°．

Answer

 思路点拨：本题是一个开放型问题，考查了线面平行、线面垂直、二面角等知识，考查了同学们解决空间问题的能力。

   （Ⅰ）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；

   （Ⅱ）通过证明即可解决；

   （Ⅲ）作出二面角的平面角，设出BE的长度，然后在直角三角形DCE 中列方程求解BE的长度。本题也可利用向量法解决。

解: 解法一:（Ⅰ）当点为的中点时，与平面平行．-------1分

∵在中，、分别为、的中点，∴∥   又平面，

而平面       ∴∥平面．              ………4分

（Ⅱ）证明:,

，又,

又，∴． ---------------------------------6分

又,点是的中点,

,．

．………8分

（Ⅲ）过作于，连，

又∵，则平面,

则是二面角的平面角，

∴，………10分

∵与平面所成角是，∴，

∴，．

∴，，设，则，，

在中，，

得．                ………12分

解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一………………4分

（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则，

，，．

设，则

   ∴   ………8分

（Ⅲ）设平面的法向量为，由，得：，

而平面的法向量为,

∵二面角的大小是,所以=，

∴，

得 或 （舍）．  ………………12分

归纳总结：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁。  而空间向量是解答立体几何问题的有利工具，它有着快捷有效的特征，是近几年高考中一直考查的重点内容。