Question

 如图： PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1， AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

   （Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;

   （Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

   （Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.

Answer

 思路点拨：本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点，

   （1）利用换底法求即可；（Ⅱ）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；

（Ⅲ）通过证明即可解决。

解: （Ⅰ）三棱锥的体积

． ---------4分

（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行.-------------5分

∵在中，、分别为、的中点，

∴∥ ，  又平面，而平面， 

    ∴∥平面．           …………8分

（Ⅲ）证明:,

，又

,又，∴． ----------10分

又,点是的中点,

,.

．        ----------12分

归纳总结：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁。