Question

 已知函数的图象经过坐标原点，且 的前

   （I）求数列的通项公式；

   （II）若数列满足，求数列的前n项和。

   （Ⅲ）设，，其中，试比较与的大小，并证明你的结论。

Answer

 思路点拨：本题将数列与函数、导数知识有机的结合在一起，综合考查了导数的逆用，对数的运算、等差数列、等差数列的求和、错位相减法等知识点以及分析问题、综合解决问题的能力。（Ⅰ）首先利用导数知识求出的关系式，然后利用与的关系求；（Ⅱ）利用对数知识求出，然后利用错位相减法求数列的前n项和，（Ⅲ）是一个是开放性问题，利用等差数列求和公式求出和，然后利用作差法比较大小。

【解析】
（I）由得

因为的图象过原点，所以

所以      …………2分

当时，  

又因为适合

所以数列的通项公式为 …………4分

   （II）由得：

   …………5分

所以 ……（1）

所以 …………（2）   -------6分

   （2）－（1）得：

所以   …………8分

   （Ⅲ）组成以0为首项6为公差的等差数列，所以M ；             ----------------9分

 组成以18为首项4为公差的等差数列，所以          -----------------10分

故      ---------11分

所以，对于正整数n，当时，；

当n=19时，；

当时，。          ------------------------14分

归纳总结：求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性。数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出。而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养．