Question

如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.

（Ⅰ）求证：平面；   

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

Answer

 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

      由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

      ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

      ∴O，E分别为DB、PB的中点，

      ∴OE//PD，，又∵，

      ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

      在Rt△AOE中，，

            ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

              设

则，

（Ⅰ）∵，

∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，

   设AC∩BD=O，连接OE，

 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

   ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

  ∵，

∴，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.