Question

如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求证：；

（II）设线段、的中点分别为、，求证： ∥

（III）求二面角的大小。

Answer

 【解析】解法一：

因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC平面ABCD, BE平面BCE,    

BC∩BE=B

所以…………………6分

（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC

∴  PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵  CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴  PM∥平面BCE.                  …………………………………………8分

（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.

∴  ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.

∵  FA=FE,∠AEF=45°,

∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=,则

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,    

,                                         

在Rt⊿FGH中, ,

∴  二面角的大小为……………………………12分                                        

解法二: 因等腰直角三角形，，所以

又因为平面，所以⊥平面，

所以

即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,

 (I) 设，则，

∵，∴，

从而                                         

，

于是，

  ∴⊥,⊥

 ∵平面，平面，  ∴

（II），从而

     于是

     ∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，

      故∥平面

（III）设平面的一个法向量为，并设＝（

         即    

   取，则，，从而＝（1，1，3）

取平面D的一个法向量为

                                     ，故二面角的大小为