Question

已知椭圆C:                     的离心率为      ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B

           

两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

Answer

 解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

【解析】
（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为

   故  ，      

       由

       得 ，=

（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由 （Ⅰ）知C的方程为+=6. 设

 (ⅰ)

C 成立的充要条件是， 且

整理得

故                   ①

将

于是 , =,

        代入①解得，，此时

     于是=， 即    

     因此， 当时，， ；

 当时，， 。

（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，此时的方程为

.