Question

 [番茄花园1] 已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点、在轴上，离心率.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；

(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.

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 [番茄花园1]19.

Answer

 [番茄花园1] 【解析】
(Ⅰ)设椭圆的方程为，

由，即，，得.

∴椭圆方程具有形式.

将代入上式，得，解得，

∴椭圆的方程为.

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知，，所以直线的方程为：，即.直线的方程为：.

由点在椭圆上的位置知，直线的斜率为正数.

设为上任一点，则.

若，得(因其斜率为负，舍去).

于是，由，得.

解法2：∵，，，∴，.

∴，

∴，∴：，即.

(Ⅲ)解法1：假设存在这样的两个不同的点和，

∵，∴.

设的中点为，则，，

由于在上，故.                          ①

又、在椭圆上，所以有  与.两式相减，得，即.

将该式写为，并将直线的斜率和线段的中点表示式代入该表达式中，得，

即                                              ②

①×2-②得，，即的中点为点，而这是不可能的.

∴不存在满足题设条件的点和.

解法2：假设存在，两点关于直线对称，则，

∴.

设直线的方程为，将其代入椭圆方程，

得一元二次方程，即.

则与是该方程的两个根.

由韦达定理得，于是，

∴的中点坐标为.

又线段的中点在直线上，∴，得.

即的中点坐标为，与点重合，矛盾.

∴不存在满足题设条件的相异两点.

 [番茄花园1]19.