Question

已知集合对于，，定义A与B的差为

A与B之间的距离为

（Ⅰ）证明：，且;

（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为.

  证明：≤.

Answer

【分析】：这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下。

    题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1， 也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1， 第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了。

    第一问，因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合的要求。然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1， 每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差。

    第二问，先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同，这两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：，从而三者不可能同为奇数。

    第三问，首先理解P中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位。然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来一切就水到渠成了。

    此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范。

【解析】
（1）设

        因，故，

        即

        又

        当时，有；

        当时，有

        故

    （2）设

        记

        记，由第一问可知：

        即中1的个数为k，中1的个数为l，

        设t是使成立的i的个数，则有，

        由此可知，不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数。

    （3）显然P中会产生个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和。

    分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了个1， 那么自然有个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，

    那么n个位置的总和

    即

下面就一些具体问题来阐述一下解题思路，希望可以指点今后高三学生的一些复习方向。

    选择题，第5题，考察知识点：极坐标系，在这个问题的设置上，命题人很巧妙地加入了一个乘积为0的现象，这违背了不少考生在之前的模拟考试中对于极坐标题的认识，认为就是简简单单的坐标转化，这一设置虽未增加多少难度，但构思仍然值得称赞。

    选择题，第6题，考察知识点：常用逻辑，向量。借助函数的背景，把几个小知识点灵活地放在一起，若略有粗心便可能失分。

    选择题，第7题，考察知识点：线性规划，指数函数。同样是求参数范围，这道题却能突破常规，最大值是3容易想，所有的a大于1却需要学生敏锐的观察力。

    选择题，第8题，考察知识点：立体几何。四个运动的点会让考生感觉不太舒服，而几何的美妙之处很大程度上就在于如何从运动中寻找不变，这也是一向北京市命题风格，09年的选择题最后一题也体现了这个风格。

    填空题，第14题，一个正方形的滚动虽然是新背景，但也不是第一次在考试中见到，但是这样的滚动方式还是会让不少学生感觉陌生，如何迅速地考察运动状态的每一次变化，就成为了解决这个问题的关键。

    解答题整体难度梯度较好，第15题直接考察三角函数虽然有些出人意外，但题目本身中规中矩，跟平时三角函数的练习并没有太大区别，立体几何，概率，导数三道大题也依然维持常态，与我们平时在课堂上讲解的东西保持一致。值得说的是最后两道大题。

    19题为解析几何大题，第二问很多考生反映说计算量很大，的确，如果按照一般的计算交点然后计算距离的方式去求三角形面积，计算量的确不小，但是这样做的同学大多数都是拿到题目，未详细思考直接动笔运算，事实上，如果认真考察两个三角形之间的关系，便可以发现这道题目并不需要过于复杂的运算，我后面给出的解法口算即可完成。

    最后一题的立意继承了07年的压轴题立意，在离散情况下处理集合的新背景规则，带有一些组合技巧。考生的瓶颈在于读题上，大多数同学读到复杂的符号和定义的时候便头晕眼花，这说明了许多考生对于数学语言的理解层面尚浅，不能将抽象的符号语言转化为直观的认识，北京近年来的压轴题风格多为此类，下一届的高三应该在这方面多下功夫。