Question

   如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1

（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；

（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。

Answer

 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

（Ⅰ）在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接CN，在△AOB中，且OA=OB,。在Rt△AON中，,。

在△ONB中，.。又AB=3AQ，Q为AN的中点。在△CAN中，分别为AC,AN的中点，.由OAOC，OAON知：OA平面CON。又NC平面CON,OACN.由PQ//CN,知OAPQ.

（Ⅱ）连结PN,PO.

      由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。

      又ON平面OAB， OCON.又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平面AOC内的射影。

      在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，ACOP。

      根据三垂线定理，知：ACNP.

      为二面角O-AC-B的平面角。

      在等腰Rt△COA中，OC=OA=1, OP=。

      在Rt△AON中，ON=OA=，

      在Rt△PON中，PN==,

      cos。

解法二:

(Ⅰ)取O为坐标原点，以OA,OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）。

   则A(1,0,0),C（0,0,1），B。

   。。

     又由已知，可得

又..

.故。

（Ⅱ）记平面ABC的法向量，则由n,n，且=（1,0，-1）。

      得故可取。

      又平面OAC的法向量为e=（0,1,0）。

      二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为，则。