Question

正实数数列中,,且成等差数列.

(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；

(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.

Answer

 【解析】考查等差数列及数列分组求和知识

证明：（1）由已知有：，从而，

方法一：取，则（）

用反证法证明这些都是无理数.

假设为有理数，则必为正整数，且，

故.,与矛盾，

所以（）都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数;

方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．

(2) 要使为整数，由可知：

同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或

当时，有（）

又必为偶数，所以（）满足

即（）时，为整数；

同理有（）

也满足，即（）时，为整数；

显然和（）是数列中的不同项；

所以当（）和（）时，为整数；

由（）有，

由（）有.

设中满足的所有整数项的和为，则