[番茄花园1] 已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都...

已知数列{a_n}满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意m、n∈N^*都有

a_2m_－1＋a_2n－1＝2a_m_＋n－1＋2(m－n)²

（Ⅰ）求a₃，a₅；

（Ⅱ）设b_n＝a_2n＋1－a_2n－1(n∈N^*)，证明：{b_n}是等差数列；

（Ⅲ）设c_n＝(a_n+1－a_n)qⁿ^－1(q≠0，n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和S_n.

[番茄花园1] 问题的能力. 【解析】 (1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6 再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分 (2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8 即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 an＝-(n－1)2. 那么an＋1－an＝－2n＋1 ＝－2n＋1 ＝2n 于是cn＝2nqn－1. 当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1) 当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1. 两边同乘以q，可得 qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得 (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn ＝2·－2nqn ＝2· 所以Sn＝2· 综上所述，Sn＝…………………………12分 [番茄花园1]21.

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考点分析：

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[番茄花园1]

已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N