Question

在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；  

 

Answer

 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK

能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象

因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点

所以AM

所以MO

由AA’⊥AK，得MO⊥AA’    

因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’

所以AK⊥BD’

所以MO⊥BD’

又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线…………6分

（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’

过点N作NH⊥BC’于H，连结MH

则由三垂线定理得BC’⊥MH

从而,∠MHN为二面角M－BC’－B’的平面角

MN＝1,NH＝Bnsin45°＝

在Rt△MNH中，tan∠MHN＝

故二面角M－BC’－B’的大小为arctan2…………………………………………12分

解法二：

以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)

(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点

所以M(1,0, ),O(,,)

,＝(0,0,1),＝(－1,－1,1)

＝0, ＋0＝0

所以OM⊥AA’,OM⊥BD’

又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………6分

(2)设平面BMC'的一个法向量为＝(x,y,z)    

＝(0,－1,), ＝(－1,0,1)

  即

取z＝2,则x＝2,y＝1，从而＝(2,1,2)

取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)

cos

由图可知，二面角M－BC'－B'的平面角为锐角  

故二面角M－BC'－B'的大小为arccos………………………………………………12分

（19）  

（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式；

      2由推导两角和的正弦公式.

（Ⅱ）已知，求

【解析】
(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为

Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.

则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2

展开并整理得： cos(α＋β)＝ (cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分  

②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα

sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

           ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

           ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分

(2)∵α∈(π,),cosα＝－

   ∴sinα＝－

   ∵β∈(，π),tanβ＝－

   ∴cosβ＝－,sinβ＝

   cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

              ＝(－)×(－)－(－)×  

              ＝