Question

已知数列{a_n}满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意m、n∈N^*都有

a_2m－1＋a_2n－1＝2a_m＋n－1＋2(m－n)²

（Ⅰ）求a₃，a₅；

（Ⅱ）设b_n＝a_2n＋1－a_2n－1(n∈N^*)，证明：{b_n}是等差数列；

（Ⅲ）设c_n＝(a_n+1－a_n)q^n－1(q≠0，n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和S_n.

Answer

问题的能力.

【解析】
(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6

       再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分

(2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得

a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8

于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8  

即  bn＋1－bn＝8

所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分

(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决

则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2

另由已知(令m＝1)可得

an＝-(n－1)2.

那么an＋1－an＝－2n＋1  

           ＝－2n＋1

           ＝2n

于是cn＝2nqn－1.

当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)

当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.

两边同乘以q，可得

          qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.

上述两式相减得

       (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn  

               ＝2·－2nqn

               ＝2·

所以Sn＝2·

综上所述，Sn＝…………………………12分