Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.

（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；     

（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；

（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

Answer

 【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.

(I)【解析】
因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.

因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.

在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.

所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.

(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.

(Ⅲ)【解析】
由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。

连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.

在Rt△NGM中，tan,

所以二面角B-EF-A的正切值为.