Question

 [番茄花园1] 已知m是非零实数，抛物线（p>0）

的焦点F在直线上。

（I）若m=2，求抛物线C的方程

（II）设直线与抛物线C交于A、B，△A,△的重心分别为G,H

求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。

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 [番茄花园1]1.

Answer

 [番茄花园1] .解析：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。

(Ⅰ)【解析】
因为焦点F(,0)在直线l上，

得

又m=2,故

所以抛物线C的方程为

设A(x1,y1) ,  B(x2,y2)

由消去x得

ym3y－m4＝0，

由于m≠0，故＝4m6＋4m4＞0，

且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4，

设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，

由于2

可知G（），H（），

所以

    所以GH的中点M.

设R是以线段GH为直径的圆的半径，

则

设抛物线的标准线与x轴交点N，

则

=m4(m4+8 m2+4)

=m4[(m2+1)( m2+4)+3m2]

＞m2 (m2+1)( m2+4)=R2.

故N在以线段GH为直径的圆外.

 [番茄花园1]22.