Question

如图, 矩形中, , , 现以矩形的边为轴, 的中点为原点建立直角坐标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、, 且成等比数列．

   （1）求动点的轨迹方程；

   （2）求动点到直线距离的最大值及取得最大值时点的坐标．

Answer

【解析】
（1）设点的坐标为，过作交的延长线于，交的延长线于．

在中, , 得，

得．

在中, ,

得．

同理可得．

∵ 成等比数列，

∴ ．

∴ ．

化简得．

∴ 动点的轨迹方程为．

   （2）由图易知当与直线平行的直线与半椭圆相切于点时，点到直线距离的最大．

设与直线平行的直线方程为，代入，

得 ，①

由，

解得，由，得．

故点到直线距离的最大值为．

把代入①式，可解得点的坐标为．